Dikdörtgenin Özellikleri Nelerdir?
Dikdörtgen dört dik açısı yani 90 derecelik açısı olan ve karşılıklı kenarların birbirine paralel olduğu bir paralelkenar ve aynı zamanda dörtgendir. Herhangi bir dikdörtgenin alanını bulmak paralelkenar alanı bulmak, ya da dörtgen alanını bulmaktan daha kolaydır. Bu makalede dikdörtgenin temel özellikleri ki bunun içerisinde açı, alan, köşegen uzunluğu gibi şeyler ile ek özellikleri detaylı bir şekilde anlatılacaktır.
Dikdörtgenin Temel Özellikleri
Dikdörtgen iç açılarının toplamı 360 derece olan bir poligondur. Poligon aynı zamanda çokgen demektir. 4 kenarı olduğu için ve kenarları birbirine dik olduğu için 360/4=90 derecelik açı kenarları arasındaki açıdır.
- Açı Özellikleri: İç açıların her biri 90’ar derecedir. Karenin de iç açılarının her biri 90’ar derecedir. Kare zaten tüm kenaları eşit olan özel bir dikdörtgendir. Ayrıca Paralelkanarın özellikleri dikdörtgen için de geçerlidir.
- Köşegen Özellikleri: Dikdörtgende köşegenler birbirini keser. Bunun aynısı paralelkenar ve kara için de geçerlidir. Dikdörtgen 2 tane köşegen bulunur.
- Kenar Paralellik Özellikleri: Dikdörtgende karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir. Paralelkenarın tümünde adından da anlaşılacağı üzere karşılıklı kenarların birbirine paralel olması söz konusudur. Paralellik hiç bir kesişmeme durumudur. Sonsuza bile gidilse paralel olan doğrular asla kesişmez ve aralarındaki mesafe hep sabit kalır.
- Kenarların Eşitliği Özelliği: Dikdörtgende karşılıklı kenarlar birbirine eşittir. Dikdörtgende genişlik ve uzunluk olarak da tanımlanabilecek iki farklı kenar bulunur. Kimi tanımlamalarda bu ayrım uzun kenar, kısa kenar şeklinde olabilir. İki uzun kenar (uzunluk) birbirine eşit, iki genişlik (kısa kenar) birbirine eşittir. Tüm kenarları birbirine eşit olan dikdörtgen karedir.
- Alan Özellikleri: Dikdörgenin kenar uzunluklarının a ve b olduğunu vasayarsak ve alanını da “A” ile ifade edersek Dikdörtgenin alanı A=sin90*a*b=a*b şeklinde tanımlanabilir.
- Çevre Özellikleri: Dikdörtgenin kenar uzunluklarını a ve b olarak kabul edersek ve dikdörtgenin çevresini de Ç ile temsil edersek: Ç=a+a+b+b=2a+2b=2(a+b) şeklinde tanımlanır.
Dikdörtgenin alanı en çok kaç olabilir kavramı üzerine: (Bu örnek biraz daha üst düzey matematik içermektedir.)
Bir dikdörtgenin çevresinin sabit olduğunu ve Ç ile ifade edildiğini varsayalım. Bu durumda karşılıklı kenarlar birbirine eşit olacağı için kenar uzunluklarından birine “x” dersek diğeri de “Ç/2-x” ile ifade edilebilir. Sağlamasını yapmak için
Ç=x+x+Ç/2-x+Ç/2-x buradan Ç=Ç çıkar. Gördüğünüz gibi ilk tanımlama doğrudur.
Dikdörtgende alan iki farklı kenarın birbiri ile çarpılmasıydı. Yani A=x*(Ç/2-x) şeklinde yazılabilir. Burada alanın maksimum olmasını istediğimze göre A ifadesi en büyük değerini alacaktır.
x’i içeri dağıtırsak: A=Çx/2-x² denklemin her iki tarafına da c sabiti eklersek:
A+c=Çx/2-x²+c şekline gelmiş olur. c’nin Dz/16 olması tam kare açılmı yapmamızı sağlar. c yerine şimdi bu değeri koyarsak:
A+Dz/16=Çx/2-x²+Dz/16
A+Dz/16=-(x-Ç/4)²
A= -Dz/16 -(x-Ç/4)²
Bunun maksimum olması için ise x=Ç/4 olmalıdır. Yani bu demek oluyor ki dikdörtgende tüm kenarlar birbirine eşit olursa ancak o zaman alan en yüksek değerini almış olur ki zaten bu şekildeki dikdörtgenlere de kare denilmektedir.
Örnek: Çevresi 24cm olan bir dikdörtgenin alanının en büyük olması durumunda kenarlarının uzunluklarını ve alanını bulun.
- Kenar uzunluklarından biri x cm ise diğeri de 12-x cm olmak zorundadır. Çünkü bu ikisini toplayıp 2 ile çarpınca çevreyi vermelidir. Bu durumda alan da iki kenarın çarpımıdır. A=x (12-x) alanın en büyük olması için iki değerin birbirine en yakın olması gerekir. Yani mesela x=7 seçilirse 7*5=35 bulunur. x=5 seçilirse yine alan 5*7=35 bulunur. Ama x=6 seçilirse bu durumda kenarlar birbirine en yakın değeri almış olur ve A=6(12-6)=6*6=36 olarak bulunmuş olur. Bu da bize gösteriyorsa böyle bir şart sağlayan dikdörtgen aslında bir karedir.
- Köşegen uzunluğu özelliği: Dikdörtgende kenarlar birbirine dik olduğu için dikdörtgenin köşegen uzunluğu pisagor teoremi ile hesaplanabilir. Hangi köşegeni hesaplarsanız hesaplayın aynı uzunluğu bulmanız gerekmektedir. Kenar uzunlukları a ve b olan dikdörtgende köşegen uzunlupu= √(a²+b²) şeklinde tanımlanır.
.
Bir dikdörtgenin her köşesinin uzun olduğunu varsayalım D D D çevre P P P. Alanı bulunbir bir bir Dikdörtgen.
İzin Vermek bir bir bir ve b b bdikdörtgenin yan uzunlukları olmalıdır. Sonra
bir2+b2=D2bir+b=P/2.\ begin {align} a ^ 2 + b ^ 2 & = D ^ 2 \\ a + b & = P / 2. \ Ucu {hizalanmış}bir2+b2bir+b=D2=P / 2 .
İkinci denklemin karesini almak
bir2+2birb+b2=P2/4. a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = P ^ 2/4. bir2+2 a b+b2=P2/ 4 .
İlk denklemin çıkarılması
2birb=P2/4-D2, 2ab = P ^ 2/4 – D ^ 2, 2 a b=P2/ 4-D2,
veya
bir=birb=P2-4D28. A = ab = \ dfrac {P ^ 2 – 4D ^ 2} {8}. bir=a b=8P2-4 D2.
Bir dikdörtgenin her köşesinin uzun olduğunu varsayalım D D D alan bir bir bir. Çevre bulP P P Dikdörtgen.
Önceki örneğimizin sonucundan,
P2=8bir+4D2, P ^ 2 = 8A + 4D ^ 2, P2=8 A+4 D2,
yani
P=8bir+4D2. P = \ sqrt {8A + 4D ^ 2}. P=8 A+4 D2
.
Özellik 8. Bir dikdörtgenin köşegenlerinin her ikisi de aynı uzunluğa sahiptir.
Dikdörtgen birBCDABCDA B C D uzunlukları var birB=3AB = 3A B=3 ve BC=4BC = 4B C=4. Uzunluğu nedirBDBDB D?
Mülk 7’yi kullanma, birC=32+42=25=5Ac = \ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = \ sqrt {25} = 5A C=32+42=2 5
=5 Bilerek birC=BDAC = BDA C=B D, BD=5BD = \ kutu {5}B D=5
Alan 120 iken bir dikdörtgenin her köşegeninin 17 uzunluğunda olduğunu varsayalım. Dikdörtgenin çevresini bulun.
Tamsayı kenar uzunlukları ve alan 1470 ile uyumlu olmayan dikdörtgenlerin sayısı nedir?
Ek Özellikler
Köşegenler eşit uzunlukta ve birbirini ikiye ayırdığı için, bir dikdörtgenin her bir tepe noktasının, ikiye ayırma noktasından eşit uzaklıkta olması gerekir. Ö Ö Ö. Bir var olduğu şu circumcircle aracılığıylaÖ Ö Ö Dikdörtgenin dört köşesinden geçen.
Mülkiyet 9. LetÖ Ö Öbir dikdörtgenin köşegenlerinin kesişimi olmalıdır. Merkezde bir çember varÖ Ö Ö yarıçapı diyagonal uzunluğun yarısına eşittir.
Özellik 10. Bir dikdörtgenin her köşesi, çember çevresinin çapıdır.
Ark ve dikdörtgenle sınırlanan alan. Yan uzunluklara sahip bir dikdörtgenbir bir bir ve b b bgösterildiği gibi sınırlanmıştır. Koyu mavi bölümün alanını belirleyin.
Koyu mavi alanı, yay içindeki gölgeli alanı eksi arkın altındaki, ancak koyu mavi alanın bir parçası olmayan dikdörtgenin dördünü (üçgen kama) eksilten alana eşit olarak düşünebiliriz.
Koyu mavi alanı sınırlayan ark, bir açı ile 2θ 2 \ theta 2 θ (θ \ teta θradyan cinsinden tanımlanmış ), buradataba rengiθ=bir/b \ tan {\ theta} = a / b taba rengiθ=a / b. Bu nedenle, ark altındaki alan tarafından verilir
πR,22θ2π=θ(bir2+b2)/4, \ pi R ^ 2 \ frac {2 \ theta} {2 \ pi} = \ theta (a ^ 2 + b ^ 2) / 4, π R22 π2 θ=θ ( a2+b2) / 4 ,
nerede R,=bir2+b2/2 R = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} / 2 R,=bir2+b2
/ 2çemberin yarıçapıdır. Son olarak, dikdörtgenin alanının dörtte birini çıkarmak toplam koyu mavi bir alan verir.
14[(bir2+b2)arctan(bir/b)-birb]. \ frac {1} {4} \ left [(a ^ 2 + b ^ 2) \ arctan (a / b) – ab \ right]. 41[ ( a2+b2)arktan ( a / b )-a b ].
12 20 24 Yok
Dikdörtgen ABCD, aşağıdaki daire O resmine yazılmıştır. Çemberin çevresi 5 * PI ve AD = 4 ise, ABCD dikdörtgeninin alanı nedir?
13/65 17/65 17/85 13/85
Verilen bir dikdörtgenin çevresi 26 ve dikdörtgenin alanı 42’dir. Köşegenler arasındaki açı PPP, bul marulP\ cos P marulP. 5 6 3 4
Verilen şekilde, köşedeki dikdörtgen 1 cm x 2 cm boyutlarındadır . Dairenin cm
cinsinden yarıçapı nedir ?
Bu problem set Zeka Oyunlarının bir parçasıdır 12612 \ sqrt {6}1 26 24 12312 \ sqrt {3}1 23 12512 \ sqrt {5}1 25
Dikdörtgen ise birBCDABCDA B C D çaplı yarım daire şeklinde yazılmıştır 12,12,1 2 , çevresinin maksimum değeri nedir?
Yukarıdaki şemada, her daire diğer iki daire ve dikdörtgenin en az bir tarafı ile temas halindedir. Yarıçaplar gösterildiği gibi dikdörtgenin kenarlarına diktir. Gölgeli bölümün alanını bulunsantimetre2\ Metin {cm} ^ 2santimetre2 en yakın tam sayıya.
Tüm boyutlar cm cinsindendir.
kullanım π≈3.14159 \ pi \ yaklaşık 3.14159 π≈3 . 1 4 1 5 9.
